重积分 · Math Notebook

重积分1. 二重积分1.1. 定义1.2. 二重积分计算1.3. 二重积分中值定理1.4. 柯西积分不等式2. 三重积分2.1. 三重积分定义2.2. 三重积分计算3. ChangeLog 重积分

1. 二重积分

1.1. 定义

设 是平面上有界闭区域 上的有界函数

其中 是 个小区域直径的最大值， 是第 个小区域的面积， 是 上任一点。

若 在 上连续，则 总存在。

二重积分几何意义：若 在区域 上连续非负，则二重积分在几何上的意义是，以 为顶，以沿着 的边界的柱面围城的曲顶柱体体积。

1.2. 二重积分计算

直角坐标：若 可由 表达，则先积分

极坐标

坐标转换公式为：

适合用极坐标的被积函数表达式有： 、

中心在坐标轴上且边界过原点的圆域边界表达式： 轴上方圆面向上的半圆为 ， 轴上方圆面向右的半圆为

对称性

若积分区域关于 x 轴对称，且被积函数关于 y 的奇函数，则积分值等于0

若积分区域关于 x 轴对称，且被积函数关于 y 的偶函数，则原积分值等于两倍的以 x 轴上半部分为积分区域的积分值

若积分区域关于 x 和 y 变量轮换对称，则被积函数中 x 和 y 对调积分值不变

若积分区域关于直线 ，则

1.3. 二重积分中值定理

设函数 在闭区域 上连续， 为 的面积，则 上至少存在一点 ，使得

例如：，其中 为积分区域 形心的横坐标，由形心的计算公式 得到

1.4. 柯西积分不等式

2. 三重积分

2.1. 三重积分定义

设 是空间有界闭区域 上的有界函数

其中 是 个小区域直径的最大值， 是第 个小区域的面积， 是 上任一点。

物理意义：若 是空间体 的体密度，则积分值为空间体质量。

2.2. 三重积分计算

直角坐标

先一后二： 在 的投影为 ，先固定 ，写出竖线穿过的上下两个边界的表达式 和 ，计算积分

先二后一：先固定 ，获得出被界面所截平面闭区间 ，计算积分 （最好 容易计算且 仅是 的一元函数）

柱坐标：

球坐标： ， ，且为与 轴的夹角

对称性

若积分域关于 平面对称，且被积函数是关于 的奇函数，则积分值等于0

若积分域关于 平面对称，且被积函数是关于 的偶函数，则原积分值等于两倍的以 上半部分为积分区域的积分值

若积分区域关于 x 和 y 变量轮换对称，则被积函数中 x 和 y 对调积分值不变

若积分区域关于平面 ，则

交换积分次序：三重积分相邻的积分次序可以当做二重积分进行积分次序交换

形心坐标：由形心的计算公式 ，得到 ，其中 为积分区域 形心的横坐标。

3. ChangeLog

2018.09.14 从多元函数积分分离出来